無限迴圈

「圓圈」與「循環」可以製造出永無止盡的感覺,善用數學方法便可巧妙地營造出錯覺。


音高集合 (pitch class) 本身就是循環性的東西,從一個音符往上或往下12個半音,也就是高八度或低八度,聽起來會有相似的感受,我們在演唱時則是給它們同樣的音名。高八度和低八度在數學上的意義則是頻率為兩倍與1/2倍。


The pitch class circle. (註1)



利用音高這種循環的特性,可以製作出無限上升或下降的效果,沒有誰是最高音,也沒有誰是最低音。依照書中的敘述,作者將好幾個八度音的諧波 (harmonics) 相加,並在頻域上使用了鐘形 (bell-shaped) 的 envelope ,使得中間頻段的聲音為最大,低音與高音的諧波漸小 (註2)。我自己實驗則是直接在頻域上設計一個帶通濾波器 (band-pass filter),設計過程如下圖:


使用10個 octave 的諧波相加合成,並經過一個 band-pass filter,從頻域上看,如果音調是往上時,則是低頻的諧波淡入,高頻的諧波淡出;音調往下時,低頻諧波淡出,高頻諧波淡入。



Ascending Shepard Scale


Descending Shepard Scale


Ascending Risset Glide


Descending Risset Glide


這個例子可以聯想到著名的錯視例子 Penrose stairs。

Penrose stairs. (註3)



註1:Deutsch, Diana. Musical Illusions and Phantom Words (p. 64). Oxford University Press. (2019)

註2:同註1。

註3:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Impossible_staircase.svg

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